NOIP普及组教学2-数的计算

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P1028 [NOIP 2001 普及组] 数的计算

题目描述

给出正整数 $n$，要求按如下方式构造数列：

  1. 只有一个数 $n$ 的数列是一个合法的数列。
  2. 在一个合法的数列的末尾加入一个正整数，但是这个正整数不能超过该数列最后一项的一半，可以得到一个新的合法数列。

请你求出，一共有多少个合法的数列。两个合法数列 $a, b$ 不同当且仅当两数列长度不同或存在一个正整数 $i \leq |a|$，使得 $a_i \neq b_i$。

输入格式

输入只有一行一个整数，表示 $n$。

输出格式

输出一行一个整数，表示合法的数列个数。

输入输出样例 #1

输入 #1

1
2
6

输出 #1

1
2
6

说明/提示

样例 1 解释

满足条件的数列为：

  • $6$
  • $6, 1$
  • $6, 2$
  • $6, 3$
  • $6, 2, 1$
  • $6, 3, 1$

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1 \leq n \leq 10^3$。

说明

本题数据来源是 NOIP 2001 普及组第一题，但是原题的题面描述和数据不符，故对题面进行了修改，使之符合数据。原题面如下，谨供参考：

我们要求找出具有下列性质数的个数（包含输入的正整数 $n$）。

先输入一个正整数 $n$（$n \le 1000$），然后对此正整数按照如下方法进行处理：

  1. 不作任何处理；
  2. 在它的左边拼接一个正整数，但该正整数不能超过原数，或者是上一个被拼接的数的一半；
  3. 加上数后，继续按此规则进行处理，直到不能再加正整数为止。

感谢 @dbxxx 对本题情况的反馈，原题面的问题见本贴。

这是一道十分纯正的数学问题

如果你是高中生，一定能想到这就是排列组合问题

逻辑

根据题目我们可以知道，每个数都有两种状态

  • 同级平移
  • 延伸

比如说样例 6

作为根数字它必须延伸（其他数字则可以自由选择延伸或不延伸）

根据说明
在一个合法的数列的末尾加入一个正整数，但是这个正整数不能超过该数列最后一项的一半，可以得到一个新的合法数列

  • 那么延伸的第一种可能我们就定为floor(i/2)
    • 这样就变成了6->3
  • 根据这个说明第二种延伸可能我们就定为floor(i/2)-1
    • 这样就变成了6->2
    • 这个同时也可以看作3的同级平移
  • 同理6->3还可以延展为6->3->1
  • 同时我们还可以发现i=1既不能继续延伸也不能同级平移
    • 所以我们将i=1作为边界条件
    • 其他数字则用递推获取

完整代码

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int solve(int b){
	if(b == 1)return 1;
	int res = 1;
	for(int i = 1;i<=floor(b/2);i++)
		res += solve(i);
	return res;
}
int main(){
	int R;
	cin >> R;
	cout << solve(R);
	return 0;
}

这样是不是就得了？提交代码后发现超时了

我们发现，每一个数字产生的种类只与i有关而与它的父节点无关

所以我们可以用一个数组记录结果，这样就可以避免重复计算

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int arr[1001];
int solve(int b){
	if(arr[b] != -1)return arr[b];
	int res = 1;
	for(int i = 1;i<=floor(b/2);i++)
		res += solve(i);
	arr[b] = res;
	return res;
}
int main(){
	int R;
	for(int i = 0;i<1001;i++)arr[i] = -1;
	arr[1] = 1;
	cin >> R;
	cout << solve(R);
	return 0;
}